Meccanica: studio degli sforzi interni di una trave o strutture articolare + travi reticolari

PARTE I: Studio della stabilità e degli sforzi interni di una trave o di strutture articolate nel piano:

  1. analisi cinematica: serve verificare che i vincoli permettano alla trave di essere senza dubbio in equilibrio.

    I vincoli sono dispositivi che tendono a limitare i gradi di libertà di un oggetto.

    Gradi di libertà per un oggetto nel piano: 3.

    Carrello: vincolo che permette spostamenti lungo una sola direzione e rotazione (in pratica funziona come un appoggio, come una trave) blocca 1 grado di libertà

    Cerniera: vincolo che non permette spostamenti ma permette la rotazione: blocca 2 gradi

    Incastro: vincolo triplo che blocca i due spostamenti e la rotazione: 3 gradi di libertà bloccati

    (questi sono i tre più famosi, poi c’è il manicotto che blocca rotazione e una direzione ma permette l’altra, il doppio pendolo che funziona come un carrello e altro) .

    Si dicono vincoli bilateri (credo) quelli che bloccano lo spostamento in entrambe i versi di una data direzione (tipo: sia i movimenti verso su che verso giù, oppure: sia a destra che a sinistra).

    Dati i gradi di libertà (3 per un oggetto solo) i vincoli devono bloccare 3 gradi di libertà (nel piano) per procedere all’analisi.

    E inoltre i 3 vincoli bloccati devono essere efficienti ossia nessun vincolo deve duplicare l’azione di un altro.

    Per vedere ciò si può guardare se l’oggetto riesce a muoversi guardando gli spostamenti infinitesimali.

    Oppure si può guardare se esiste un centro di istantanea rotazione (C.i.r.): il carrello crea una retta, lungo la direzione su cui blocca il movimento, ove è possibile un cir. La cerniera ha un cir nel punto ove è. L’incastro non crea cir.

    Se ad esempio, c’è una cerniera lungo la retta creata dal carrello, la struttura ha un cir e pertanto i vincoli non sono efficaci, la struttura è labile.

    Vincoli interni: oltre ai vincoli esterni (che collegano l’oggetto al suolo) esistono i vincoli interni, che collegano una trave ad un’altra. Il più usato è la cerniera, una specie di anello che tiene unite le estremità di 2 o più travi.

    La cerniera può sviluppare una forza in compononente x e componente y, ma non può sviluppare il momento. Posto un numero m di aste collegate ad un’unica cerniera, ogni asta ha 3 gradi di libertà quindi ci sono 3m gradi di libertà, la cerniera blocca 2m – 2 gradi di libertà.

    Detto r il numero di vincoli efficaci, s il numero di vincoli semplici e n il numero di gradi di libertà, una struttura può essere labile, statica o iperstatica se rispettivamente: r < n con grado di labilità l = n – r; r = n=s; s > n con grado di iperstaticità pari a i =s – r.

    La struttura quindi può anche essere labile e iperstatica.

  2. Ogni vincolo può essere sostituito dalla sua reazione vincolare. Pertanto il carrello verrà sostituito da un vettore forza che agisce nell’unica direzione dove blocca il movimento, la cerniera sarà sostituita da due vettori forza uno in direzione x e l’altro in direzione y, e l’incastro sarà sostituito da due vettori forza (x e y) e un momento. La cerniera interna sarà sostituita da una coppia di forze sia in direzione x che in direzione y: la coppia verso un’asta avranno il verso deciso da noi, quella nella direzione dell’asta collegata avranno il verso opposto alle precedenti.

    La convenzione vuole che le forze siano positive nella direzione classica del primo quadrante degli assi cartesiani, il momento è positivo quando va in senso antiorario.

    Di norma prima si disegnano le reazioni vincolari applicandogli un verso deciso da noi, e poi se i conti danno un risultato negativo significa che il verso reale è il verso opposto. Tuttavia è importante eseguire ciascun conto senza cambiare “in corsa” la direzione della freccia altrimenti non si capisce più niente e si fanno errori.

    Sostituiti i vincoli con i vettori forza che rappresentano le reazioni vincolari, si trovano le intensità di tutte le forze. Le si trovano con le tre equazioni cardinali della meccanica nel piano, ossia:

    sommatoria forze in x = 0;

    sommatoria in y = 0;

    e sommatoria momenti = 0.

    Queste possono essere applicate o all’intera struttura (considerando che dopo lo studio cinematico sappiamo che i vincoli garantiscono che il corpo stia fermo e quindi internamente è come se fosse un unico oggetto) oppure si divide la struttura nei punti dove ci sono i vincoli interni e si applicano a ciascuna parte le equazioni cardinali della statica.

    In realtà la cosa più pratica è quella di individuare una parte ove l’incognita sia una sola e svolgere l’equazione (x y o momenti) che interessa quella incognita.

    Trovata quella trovi un pezzo ove ci sia una sola incognita e via così.

    La maggior parte delle volte questo significa che all’inizio si guarda alle sommatorie dei momenti, perché scegliendo un centro “comodo” per il calcolo del momento, alcune forze incognite non entrano nel calcolo e si riesce a trovare la reazione vincolare cercata.

    Oppure, se non si riesce a procedere nel modo più fortunato, si applicheranno le equazioni ad un pezzo o all’intera struttura, e queste daranno delle relazioni tra le incognite che poi andranno a unirsi alle successive altre relazioni giungendo comunque alla soluzione.

  3. Infine serve disegnare i diagrammi di taglio, sforzo normale e momento.

    Per trovare questi si suppone di rompere la struttura in un punto qualsiasi. La struttura non sarebbe più in equilibrio.

    Questo significa che lungo la trave vengono trasmesse delle forze perpendicolari (taglio) orizzontali (sforzo normale) e dei momenti che permettono di mantenere l’equilibrio.

    In particolare se dividiamo in un punto una trave dobbiamo inserire una coppia di forze lungo x, lungo y e un momento che garantiscono l’equilibrio. Queste forze sono appunto a coppie. Le prime forze e il momento, che si applicano alla prima parte della trave spezzata avranno tutti verso positivo, le seconde e il secondo momento, che si applicano alla seconda parte della trave avranno tutte verso negativo. La coppia x avrà la sua intensità e versi opposti, così come la coppia y e la coppia di momento. Il taglio è definito positivo quando tende a porre in rotazione oraria i due tronconi dell’oggetto. Lo sforzo normale è positivo quando tende a porre in trazione i due tronconi. Il momento è ritenuto positivo quando tende a mettere in trazione le fibre inferiori dell’oggetto.

    Per trovare il valore di queste forze e quindi tracciare i diagrammi, analiticamente si parte da un punto “verso l’esterno” dell’oggetto, staccando la trave ad una distanza x dall’esterno e si trova con le equazioni cardinali della statica il valore di una forza, x, y e del momento. Poi si osserva se tali coppie di forze sono positive o negative e si procede così lungo tutte le travi dell’oggetto per disegnare il diagramma.

    Taglio e momento vanno disegnati “sopra la trave” se positivi, serve fare una campitura e serve scrivere + oppure – a seconda si tratti di sforzi positivi o negativi.

    Il momento si disegna dalla parte delle fibre tese, va campito e non è indispensabile indicare + o -.

    Esistono alcune semplificazioni che permettono di andare più veloci nel disegnare:

    In cerniera il momento deve essere nullo,

    se la trave ha un angolo retto sforzo e taglio si scambiano (Na= Tb; Ta = – Nb; Ma = Mb), il momento ruota, internamente se è interno o esternamente se è esterno. Poi, importantissimo:

    la derivata del momento è il taglio,

    la derivata del taglio in dy è uguale alla forza distribuita [qy(x)]che viene applicata dall’esterno alla trave moltiplicata per -1,

    la derivata dello sforzo normale in dx è uguale alla forza distribuita [qx(x)]che viene applicata dall’esterno alla trave moltiplicata per -1;

    quando si incontra una forza concentrata (F) vi sarà una discontinuità pari ad F nel diagramma di taglio (se è perpendicolare) o di sforzo normale (se è longitudinale).

    Se F crea una disconitinutà nel taglio, creerà anche una variazione di pendenza nel diagramma di M (momento) essendo il taglio la derivata del momento. Quindi,
    se qy(x) è nullo, T è nullo, M è costante.

    Se qy(x) è nullo, T è costante, M è lineare,

    se qy(x) è costante, T è lineare (una retta) e M è parabolico

    E via così. Quando M o T è lineare, ossia sono una retta, finchè non si trovino forze concentrate, per tracciarne il diagramma basta conoscere il valore iniziale e quello finale.

PARTE II: TRAVI RETICOLARI:

Le travi reticolari sono strutture ove l’equilibrio interno è garantito quando si tratti di strutture triangolari (ove ciascun triangolo ha un unico lato in comune col successivo). E’ possibile togliere una asta in questa struttura se si aggiunge un vincolo esterno. In queste strutture si suppone che le forze siano applicate solo ai nodi (cerniere)

Le travi saranno collegate a terra da dei vincoli e quindi serirà

  1. calcolare il valore dei vincoli esterni (vd sopra equazioni cardinali della statica nel piano) e verificare la stabilità cinetica, deve essere una struttura statica (né labile né iperstatica)
  2. Metodo A: dei nodi.
    Se si ha una travatura economica (un nodo presenta una sola incognita, tolto il nodo e le sue aste, si ha ancora una travatura economica) si procede di nodo “economico” in nodo “economico”.
    Le forze possono agire solo nella direzione delle aste e pertanto in ciascun nodo, si disegnano le forze incognite che agiscono nella direzione delle aste e, dato l’equilibrio, si ha che sommatoria x = 0 e sommatoria y = 0.
    Si trova il valore e si procede nel nodo successivo. IMPORTANTE: se la forze in un nodo ha un verso, nel nodo all’altro capo dell’asta, avrà il verso opposto (principio di azione e reazione). Si procede così nodo “economico” per nodo “economico” fino a trovare tutte le incognite.
  3. Metodo B: delle sezioni di Ritter.
    Si “taglia” la struttura in modo da tagliare 3 aste non concorrenti in un punto. Considerando l’intera struttura, con le reazioni vincolari esterne trovate.
    Si fa sommatoria momenti in A dove A è il punto di congiunzione di due delle forze incognite della sezione di Ritter, e sommatoria momenti in B dove B è il punto di congiunzione di altre due delle forze incognite. (A e B possono anche essere oltre la sezione tracciata, fuori dalla struttura reticolare).
    Per trovare la terza forza si fa sommatoria in y (il centro delle due aste parallele è all’infinito e quindi la “rotazione” è una traslazione).
Annunci

Rispondi

Inserisci i tuoi dati qui sotto o clicca su un'icona per effettuare l'accesso:

Logo WordPress.com

Stai commentando usando il tuo account WordPress.com. Chiudi sessione /  Modifica )

Google+ photo

Stai commentando usando il tuo account Google+. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto Twitter

Stai commentando usando il tuo account Twitter. Chiudi sessione /  Modifica )

Foto di Facebook

Stai commentando usando il tuo account Facebook. Chiudi sessione /  Modifica )

Connessione a %s...

%d blogger hanno fatto clic su Mi Piace per questo: